ALGEBRE LINEAIRE

Objectifs du cours

  • Acquérir les fondamentaux de la résolution d’équations algébriques simples et polynomiales

  • Maîtriser les techniques de manipulation et d’opération sur les matrices

  • Comprendre la structure des espaces vectoriels et leur rôle en tant que cadre pour les applications linéaires

  • Savoir modéliser et résoudre des problèmes concrets via systèmes d’équations et transformations linéaires

Chapitre 1 : Résolution des équations du 1ᵉʳ et du 2ᵈᵉ degré

  1. Équations du premier degré

    • Forme générale : ax + b = 0 (avec a≠0)

    • Méthode de résolution : isolement de x

    • Interprétation graphique (droite)

  2. Équations du second degré

    • Forme générale : ax² + bx + c = 0 (avec a≠0)

    • Calcul du discriminant Δ = b² – 4ac

      • Cas Δ<0 : pas de solution réelle

      • Cas Δ=0 : solution unique x₀ = –b/(2a)

      • Cas Δ>0 : deux solutions x₁, x₂ = [–b ± √Δ]/(2a)

    • Exercices guidés et cas pratiques

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

  1. Définitions et notations

    • Matrice, éléments aᵢⱼ, dimensions (m×n)

  2. Opérations sur les matrices

    • Addition et soustraction

    • Multiplication (matrice×matrice, matrice×vecteur)

    • Transposition

  3. Déterminant et inverse

    • Calcul du déterminant pour les matrices carrées

    • Critère d’inversibilité (det≠0)

    • Méthodes d’inversion (adjugée, Gauss–Jordan)

  4. Rang et solutions de systèmes

    • Rang d’une matrice et interprétation géométrique

    • Lien avec l’existence et l’unicité des solutions

Chapitre 3 : Espaces vectoriels et applications linéaires

  1. Espaces vectoriels

    • Définition et axiomes

    • Sous‑espaces, combinaisons linéaires, dépendance et indépendance

    • Base et dimension

  2. Applications linéaires

    • Définition et propriétés (additivité, homogénéité)

    • Noyau (kernel) et image (range)

    • Théorème du rang et de la dimension

    • Matrice associée et changement de base

À l’issue de ces trois chapitres, vous serez capable de passer de la résolution d’équations simples à la compréhension des structures vectorielles et des transformations linéaires, outils essentiels pour l’analyse mathématique et l’ingénierie.